حلقه های r-تمیز

فرض کنیم r یک حلقه ی یکدار باشد. عنصر a درr را تمیز نامیم اگر a= e+u ، که در آن e یک عنصر خودتوان و u یک عنصر یکال از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را تمیز نامیم. عنصر a در حلقه ی r را r-تمیز نامیم اگر a= e + r ، که در آن e یک عنصر خودتوان و r یک عنصر منظم از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه r-تمیز باشد، آنگاه حلقه را r-تمیز نامیم. حلقه های منظم و حلقه های تمیز مثالهایی از حلقه های r-تمیز هستند. اما مثالهایی را عنوان خواهیم کرد که نشان می دهند حلقه های r-تمیز لزوما تمیز و یا منظم نیستند. پس کلاس حلقه های تمیز و همچنین کلاس حلقه های منظم زیر کلاسهای سره از کلاس حلقه های r-تمیز هستند و همین موضوع نشان دهنده اهمیت بررسی چنین مفهومی است. به علاوه بعضی از روابط بین حلقه های r-تمیز و برخی از حلقه های دیگر را مورد بررسی قرار خواهیم داد و سعی خواهیم نمود که بعضی از خصوصیات حلقه های r-تمیز را به دست آوریم. عنصر a درr را j-تمیز نامیم اگر a= e+j و ej=je که در آن e یک عنصر خودتوان و j یک عنصر رادیکال جیکوبسن r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را j-تمیز قوی نامیم. در ادامه به بررسی برخی از ویژگی های حلقه گروههای j-تمیز می پردازیم.